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Il paradosso dei compleanni

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La mente umana, per sua natura, ha ben poca confidenza con le funzioni matematiche che valicano i confini delle canoniche quattro operazioni studiate alla scuola elementare. Per questo motivo tutti quanti gli aneddoti, i teoremi e i paradossi che si sviluppano attorno a procedimenti che chiamano i causa le potenze o le serie fattoriali riscuotono sempre tanto successo. A conferma di questa considerazione iniziale, sappiamo tutti che cercare di ingannare i potenti non è una buona idea, come ci ha insegnato quel mercante che, qualche millennio fa, fu ricevuto alla corte di un annoiato principe indiano.Il viaggiatore, ebbe l’idea di chiedere come ricompensa al sovrano cui aveva appena mostrato il gioco degli scacchi “un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza e così via” (ovvero una quantità pari a 2 elevato alla potenza 64). Vi lascio ancora qualche secondo per formulare alcune ipotesi sull’ordine di grandezza di tale numero, fatto sta che secondo la leggenda, non potendo il principe venir meno alla promessa fatta di ricompensare l’uomo, ma non potendo allo stesso tempo soddisfare la richiesta di 18.446.744.073.709.551.616 chicchi di grano (circa 2000 miliardi di tonnellate), lo fece giustiziare per togliersi d’impaccio. Prima di addentrarci nell’esposizione del paradosso dei compleanni, vi lancio una sfida: secondo voi, piegando per cinquanta volte a metà un enorme foglio dall’altezza di un millimetro, quale altezza si può raggiungere? La risposta arriverà alla fine dell’articolo.

Facciamo adesso un altro sforzo mentale, e immaginiamo di dover trovare due persone che siano nate lo stesso giorno dello stesso mese: prima di concludere la nostra ricerca, di quante persone avremo dovuto controllare i documenti? Prima di fare brutte figure lanciandovi in previsioni assolutamente troppo generose, lasciate che vi dia un indizio: in questo caso è fuorviante confrontare il numero di persone con il totale di 365 (salvo bisestili), vanno bensì confrontate le persone stesse a coppie, concentrandoci quindi sul numero ipotetico di possibili raggruppamenti. Questo è in realtà un problema di calcolo combinatorio, e la sua soluzione indica che con sole 23 persone la probabilità di avere due individui nati lo stesso giorno dello stesso mese supera il 50%! Per avere la certezza assoluta di questo effetto bisogna ovviamente considerare 366 persone, ma la probabilità di cui sopra inizia a superare consistentemente la soglia del 90% con più di 40 persone.

Se volete quindi cercare di sorprendere colleghi o compagni di classe con un’avventurosa scommessa sui giorni del compleanno, avendo delle numerosità che si avvicinano a queste consistenze, siete liberi di provare e di aspettarvi un effetto positivo. E come promesso, adesso giunge la soluzione al quesito che avevamo lasciato in sospeso: il foglio sarebbe spesso 1 miliardo di chilometri. Due volte la distanza che ci separa dalla Luna.

Riccardo Frascolli

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